package com.shm.leetcode;

/**
 * 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值
 * 在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？
 *
 *
 *
 * 示例 1:
 *
 * 输入:
 * [
 *   [1,3,1],
 *   [1,5,1],
 *   [4,2,1]
 * ]
 * 输出: 12
 * 解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物
 *
 *
 * 提示：
 *
 * 0 < grid.length <= 200
 * 0 < grid[0].length <= 200
 * @author SHM
 */
public class MaxValue {
    /**
     * 动态规划
     *
     * @param grid
     * @return
     */
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        int[][] dp = new int[m][n];
        dp[0][0] = grid[0][0];
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i != 0 || j != 0) {
                    if (i == 0) {
                        dp[i][j] = dp[i][j - 1] + grid[i][j];
                    } else {
                        if (j == 0) {
                            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + grid[i][j];
                        } else {
                            dp[i][j] = Math.max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + grid[i][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

    /**
     * 解题思路：
     * 题目说明：从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。
     * 根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。
     * <p>
     * 设 f(i, j)f(i,j) 为从棋盘左上角走至单元格 (i ,j)(i,j) 的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i,j)f(i,j) 等于 f(i,j-1)f(i,j−1) 和 f(i-1,j)f(i−1,j) 中的较大值加上当前单元格礼物价值 grid(i,j)grid(i,j) 。
     * <p>
     * f(i,j) = \max[f(i,j-1), f(i-1,j)] + grid(i,j)
     * f(i,j)=max[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j)
     * <p>
     * 因此，可用动态规划解决此问题，以上公式便为转移方程。
     * <p>
     * <p>
     * <p>
     * 动态规划解析：
     * 状态定义： 设动态规划矩阵 dpdp ，dp(i,j)dp(i,j) 代表从棋盘的左上角开始，到达单元格 (i,j)(i,j) 时能拿到礼物的最大累计价值。
     * 转移方程：
     * 当 i = 0i=0 且 j = 0j=0 时，为起始元素；
     * 当 i = 0i=0 且 j \ne 0j
     * 
     * ​
     * =0 时，为矩阵第一行元素，只可从左边到达；
     * 当 i \ne 0i
     * 
     * ​
     * =0 且 j = 0j=0 时，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；
     * 当 i \ne 0i
     * 
     * ​
     * =0 且 j \ne 0j
     * 
     * ​
     * =0 时，可从左边或上边到达；
     * dp(i,j)= \begin{cases} grid(i,j) & {,i=0, j=0}\\ grid(i,j) + dp(i,j-1) & {,i=0, j \ne 0}\\ grid(i,j) + dp(i-1,j) & {,i \ne 0, j=0}\\ grid(i,j) + \max[dp(i-1,j),dp(i,j-1)]& ,{i \ne 0, j \ne 0} \end{cases}
     * dp(i,j)=
     * ⎩
     * ⎪
     * ⎪
     * ⎪
     * ⎪
     * ⎨
     * ⎪
     * ⎪
     * ⎪
     * ⎪
     * ⎧
     * ​
     * <p>
     * grid(i,j)
     * grid(i,j)+dp(i,j−1)
     * grid(i,j)+dp(i−1,j)
     * grid(i,j)+max[dp(i−1,j),dp(i,j−1)]
     * ​
     * <p>
     * ,i=0,j=0
     * ,i=0,j
     * 
     * ​
     * =0
     * ,i
     * 
     * ​
     * =0,j=0
     * ,i
     * 
     * ​
     * =0,j
     * 
     * ​
     * =0
     * ​
     * <p>
     * <p>
     * 初始状态： dp[0][0] = grid[0][0]dp[0][0]=grid[0][0] ，即到达单元格 (0,0)(0,0) 时能拿到礼物的最大累计价值为 grid[0][0]grid[0][0] ；
     * 返回值： dp[m-1][n-1]dp[m−1][n−1] ，m, nm,n 分别为矩阵的行高和列宽，即返回 dpdp 矩阵右下角元素。
     * 空间复杂度降低：
     * 由于 dp[i][j]dp[i][j] 只与 dp[i-1][j]dp[i−1][j] , dp[i][j-1]dp[i][j−1] , grid[i][j]grid[i][j] 有关系，因此可以将原矩阵 gridgrid 用作 dpdp 矩阵，即直接在 gridgrid 上修改即可。
     * 应用此方法可省去 dpdp 矩阵使用的额外空间，因此空间复杂度从 O(MN)O(MN) 降至 O(1)O(1) 。
     * <p>
     * 作者：Krahets
     * 链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5vr32s/
     */
    public int maxValue_2(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        for (int i = 0; i < m; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (i != 0 || j != 0) {
                    if (i == 0) {
                        grid[i][j] = grid[i][j - 1] + grid[i][j];
                    } else {
                        if (j == 0) {
                            grid[i][j] = grid[i - 1][j] + grid[i][j];
                        } else {
                            grid[i][j] = Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j];
                        }
                    }
                }
            }
        }
        return grid[m - 1][n - 1];
    }

    /**
     * 以上代码逻辑清晰，和转移方程直接对应，但仍可提升效率，这是因为：当 gridgrid 矩阵很大时， i = 0i=0 或 j = 0j=0 的情况仅占极少数，相当循环每轮都冗余了一次判断。因此，可先初始化矩阵第一行和第一列，再开始遍历递推。
     * <p>
     * 作者：Krahets
     * 链接：https://leetcode-cn.com/leetbook/read/illustration-of-algorithm/5vr32s/
     */
    public int maxValue_3(int[][] grid) {
        int m = grid.length;
        int n = grid[0].length;
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            grid[i][0]=grid[i-1][0]+grid[i][0];
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            grid[0][i]=grid[0][i-1]+grid[0][i];
        }
        for (int i = 1; i < m; i++) {
            for (int j = 1; j < n; j++) {
                grid[i][j] = Math.max(grid[i - 1][j], grid[i][j - 1]) + grid[i][j];
            }
        }
        return grid[m-1][n-1];
    }

}
